next up previous contents
Volgende: De -ruimten Omhoog: Het semi-eindige geval Vorige: De duale aktie   Inhoudsopgave

Het spoor $\tau $

Nu hebben we voldoende gegevens om het spoor $\tau_{0}$ op het gekruiste produkt te kunnen vinden. Ook hier gaan we het spoor $\tau $ als een tensor proberen te schrijven. We vermelden eerst het resultaat en daarna de weg die we gevolgd hebben om tot dit spoor te komen. $\tau $ blijkt van de volgende vorm te zullen zijn:

\begin{displaymath}\tau=\tau_{0} \otimes \int\, .\, d\omega
\end{displaymath}

  1. Eerst en vooral gaan we $\tilde{\tau}_{0}$ zoeken we weten uit het begin van dit hoofdstuk dat dit op deze manier gedefinieerd wordt:

    \begin{displaymath}\tilde{\tau}_{0}=\hat{\tau}_{0}\circ T\end{displaymath}

    Waarbij $Tx=\int_{\mathbb{R}}\theta_{s}ds$ Met onze voorkennis van de werking van $T$ en het feit dat $Tx$ in $\hat{M}_{+}$ zal zitten bekomen we dan hetvolgende, voor elke elementaire tensor $x\otimes
f \in M\otimes L^{\infty }(\mathbb{R})$

    \begin{eqnarray*}T(x\otimes f) &
= & \int_{\mathbb{R}}(x\otimes l(s)f)ds \\ & =...
....-s)\Big) ds
\\ & = & x\, .\, \int_{\mathbb{R}}f(\omega)d\omega \end{eqnarray*}



    Bijgevolg zal

    \begin{displaymath}\tilde{\tau}_{0}(x\otimes f) =
\left(\int_{\mathbb{R}}f(\omega)d\omega\right)\, .\, \tau_{0}(x)\end{displaymath}

  2. Nu weten we dat er in het begin van dit hoofdstuk vermeld stond dat er een spoor $\tau $ op $M\otimes L^{\infty}(\mathbb{R},\mu)$ bestond dat door de volgende vergelijking gekarakteriseerd werd:

    \begin{displaymath}\left( D\tilde{\tau}_{0}: D\tau\right) _{t} =\lambda(t) \end{displaymath}

    Hieruit is natuurlijk helemaal niet duidelijk welke vorm $\tau $ zal hebben. Zonder het bewijs en de constructie helemaal na te gaan (cfr. [30,31]) stoten we daar ook nog op de volgende eigenschap die eigen is aan dit spoor $\tau $ (cfr. ook paragraaf 3.3.1), namelijk dat

    \begin{displaymath}\tilde{\tau}_{0}(\, .\, ) = \tau(h\, .\, )\end{displaymath}

    met $h$ positief en zelftoegevoegd en $h^{it}=\lambda(t)$. Met deze laatste gegevens hebben we voldoende, om $\tau $ terug te vinden want

    \begin{displaymath}\lambda(t)=e^{i\omega t}=h^{it}\end{displaymath}

    Dus zal $h=e^{\omega}$. Het is ook niet zo moeilijk om in te zien dat $e^{\omega}$ wel degelijk positief en zelftoegevoegd zal zijn. In het bijzonder verkrijgen we dan voor elke elementaire tensor $x\otimes f\in M\otimes
L^{\infty}(\mathbb{R},\mu)$

    \begin{eqnarray*}\tilde{\tau}(x\otimes f) & = & \left(\int_{\mathbb{R}}
f(\omeg...
...omega}(x\otimes f)) \\ & = & \tau(x\otimes
e^{\omega}f(\omega)) \end{eqnarray*}



    Hieruit kunnen we dus afleiden dat $\tau $ van de volgende vorm zal zijn:

    \begin{displaymath}\tau=\tau_{0}\otimes \int_{\mathbb{R}} \, .\, e^{-\omega}\, d\omega,\end{displaymath}

    want zo wordt dan

    \begin{eqnarray*}\tau(e^{\omega}(x\otimes f)) & = &
\tau_{0}(x)\, .\, \int_{\ma...
...omega} f(\omega)
d\omega
\\ & = & \tilde{\tau}_{0}(x\otimes f) \end{eqnarray*}




next up previous contents
Volgende: De -ruimten Omhoog: Het semi-eindige geval Vorige: De duale aktie   Inhoudsopgave
Raf Vandebril 2004-05-27