next up previous contents
Volgende: De hermitische toevoeging van Omhoog: eigenschappen over onbegrensde operatoren Vorige: eigenschappen over onbegrensde operatoren   Inhoudsopgave

Som en produkt van operatoren

Analoog als voor lineaire operatoren $a$ en $b$ op $\H$, kunnen we ook hier de som $a+b$ en het produkt $ab$ definiëren als operatoren op $\H$ met respectievelijke domeinen:

\begin{displaymath}D(a+b)=D(a)\cap D(b) \end{displaymath}


\begin{displaymath}D(ab)=\{\xi \in D(b) \vert b\xi \in
D(a)\}\end{displaymath}

Deze operaties zijn associatief zodat ook $a+b+c$ en $abc$ goed gedefinieerde operatoren zijn. Bovendien geldt er $\forall a,b,c$

\begin{displaymath}(a+b)c=ac+bc\,\, en\,\, c(a+b)\supseteq ca+cb\end{displaymath}

(Met gelijkheid als $D(c)=\H$).

Definitie 1.11   Een operator $a$ op $\H$ noemen we gesloten als zijn grafiek $G(a)=\{\,(a\xi,\xi)\,\vert\,\xi\in D(a)\}$ gesloten is in $\H\oplus \H$. Een operator $a$ wordt sluitbaar genoemd als de sluiting van zijn grafiek $\overline{G(a)}$ de grafiek is van een gesloten operator, de operator horend bij deze gesloten grafiek wordt dan de sluiting van $a$ genoemd en genoteerd met $[a]$. Een operator is dicht gedefinieerd als $D(a)$ dicht is in $\H$.

Definitie 1.12   Als de som $a+b$ van twee gesloten, dicht gedefinieerde operatoren $a,b$ sluitbaar en dicht gedefinieerd is, dan wordt de sluiting $[a+b]$ de sterke som van $a$ en $b$ genoemd. Analoog zullen we het sterk produkt definiëren als de sluiting $[ab]$ van $ab$ als $ab$ sluitbaar en dicht gedefinieerd is.


next up previous contents
Volgende: De hermitische toevoeging van Omhoog: eigenschappen over onbegrensde operatoren Vorige: eigenschappen over onbegrensde operatoren   Inhoudsopgave
Raf Vandebril 2004-05-27