next up previous contents
Volgende: Het duale gewicht op Omhoog: Inleidende begrippen Vorige: Het uitgebreid positief deel   Inhoudsopgave

Voorbeelden van uitgebreide positieve delen.

Voorbeeld 1 Stel $(X,\Omega,\mu)$ als een maatruimte. Dan wordt het uitgebreid positief deel van $L^{\infty}(X,\mu)^ {+}$ gegeven door de volgende verzameling van functies

\begin{displaymath}\{f:X\rightarrow [0,+\infty]\, \vert\, f\,\, is\,\, positief\,\, meetbaar\}\end{displaymath}

Deze laatste verzameling bevat dus ook de functies die de waarde $+\infty$ kunnen aannemen op een meetbare verzameling met maat verschillend van $0$. Voorbeeld 2 Hier gaan we het uitgebreid positief deel van $\mathbb{C}^{2\times 2}$ proberen te zoeken, we gaan dit doen met behulp van de spectrale resolutie voor zo'n element uit het uitgebreid positief deel. Stel

\begin{displaymath}\mathbb{C}^{2\times 2}=\left\{\left(\begin{array}{cc} a & b \...
...&
d \end{array}\right) \, \vert\, a,b,c,d\in\mathbb{C}\right\}\end{displaymath}

als de verzameling van de $2\times 2$ m¨atrices met coëfficiënten in $\mathbb{C}$. Dan weten we uit het eerste hoofdstuk dat $\mathbb{C}^{2\times 2}
\cong \mathcal{B}(\mathbb{C}^{2})$ en in het bijzonder zal $\mathbb{C}^{2\times 2}$ een von Neumann-algebra vormen voor de normale bewerkingen met matrices.
  1. De positieve elementen van $\mathbb{C}^{2\times 2}$.
    Als $A \in (\mathbb{C}^{2\times 2})_{+}$, dan bestaat er een $\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right) \in
\mathbb{C}^{2\times 2}$ zo dat

    \begin{displaymath}A=\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d
\end{array} \right)...
...ne{b}d &
\vert c\vert^{2}+\vert d\vert^{2} \end{array} \right)\end{displaymath}

    Dus zal $A$ van de volgende vorm zijn:

    \begin{displaymath}A=\left(\begin{array}{cc} a & b \\ \overline{b} & d
\end{array} \right)\end{displaymath}

    waarbij dan $a,d\geq 0$ zijn. Vervolgens berekenen we de eigenwaarden van $A$: We verkrijgen als karakteristieke vergelijking

    \begin{displaymath}\left\vert\begin{array}{cc}\lambda-a &
-b \\ -\overline{b} &...
...ray}\right\vert =
\lambda^{2}-(a+d)\lambda+ad-\vert b\vert^{2}\end{displaymath}

    Dat levert ons voor $\lambda_{1}$ en $\lambda_{2}$ de volgende oplossingen:

    \begin{eqnarray*}\lambda_{1},\lambda_{2} & = & \frac{(a+d)\pm
\sqrt{(a+d)^{2}-4...
... \\ & = & \frac{(a+d)\pm
\sqrt{(a-d)^{2}+4\vert b\vert^{2}}}{2} \end{eqnarray*}



    We vinden dus twee (al dan niet verschillende) reële eigenwaarden. Bovendien zijn $\lambda_{1}$ en $\lambda_{2}$ positief a.s.a. $(a+d)^{2} \geq
(a-d)^{2} + 4\vert b\vert^{2}$ a.s.a. $ad\geq\vert b\vert^{2}$. Dus als $A \in (\mathbb{C}^{2\times 2})_{+}$, dan is $A$ van de vorm:

    \begin{displaymath}A=\left(\begin{array}{cc} a & b \\ \overline{b} & d
\end{array} \right)\end{displaymath}

    met dan $a,d\geq 0$ en $det A=ad-\vert b\vert^{2}\geq0$.
  2. Het uitegebreid positief deel.
    Zij $m\in (\mathbb{C}^{2\times
2})\hat{}_{+}$. We weten dan dat $m$ een unieke spectrale resolutie heeft van de volgende vorm:

    \begin{displaymath}m=A+ \,\,\infty\, .\, p\end{displaymath}

    met $p$ als een projectie in $\mathbb{C}^{2}$ en $A$ een positieve (begrensde), operator op $(p\mathbb{C}^{2})^{\bot}$. We onderscheiden nu de verschillende mogelijkheden voor $p$:

next up previous contents
Volgende: Het duale gewicht op Omhoog: Inleidende begrippen Vorige: Het uitgebreid positief deel   Inhoudsopgave
Raf Vandebril 2004-05-27