next up previous contents
Volgende: De von Neumann-algebra met Omhoog: Enkele voorbeelden Vorige: Enkele voorbeelden   Inhoudsopgave

De von Neumann-algebra $M_{n}(\mathbb{C})$

In gans dit hoofdstuk over de rearrangements hebben we geen enkele maal vermelding gemaakt over de matrices, alhoewel ze perfect passen in dit kader. Dat komt omdat er bij de matrices nogal zeer veel vereenvoudigingen kunnen doorgevoerd worden, zoals we zullen zien in dit deel. We moeten eerst nagaan wat een elementaire operator, concreet in het geval van de matrices zal betekenen. Uit definitie 2.3 en het feit dat voor een willekeurige matrix, dus zeker en vast ook voor een projectieoperator $p\in M_{n}(\mathbb{C})$ geldt dat

\begin{displaymath}tr(p)<+\infty\end{displaymath}

volgt er dat elke matrix elementair zal zijn. We weten uit paragraaf 2 dat $L^{1}(M)$ een deel zal zijn van $\tilde{M}$, bijgevolg verkrijgen we dus dat:

\begin{displaymath}M_{n}(\mathbb{C})=\mathcal{F}\subseteq L^{1}(M)\subseteq\tilde{M}=M_{n}(\mathbb{C})\end{displaymath}

Dit levert ons dat

\begin{displaymath}\Big(L^{1}(M_{n}(\mathbb{C})),\,\Vert\, .\,\Vert _{1}\Big) \cong \Big(M_{n}(\mathbb{C}),tr(\vert\,
.\, \vert)\Big)\end{displaymath}

en

\begin{displaymath}\Big(L^{p}(M_{n}(\mathbb{C})),\Vert\,.\,\Vert _{p}\Big) \cong...
...(M_{n}(\mathbb{C}),tr(\vert\, .\, \vert^{p})^{\frac{1}{p}}\Big)\end{displaymath}



Raf Vandebril 2004-05-27