next up previous contents
Volgende: -pré-meetbaarheid Omhoog: De theorie van de Vorige: De verzameling van operatoren.   Inhoudsopgave

$\tau $-dichte deelruimten

Definitie 1.37   Een deelruimte $E$ van $\H$ wordt $\tau $-dicht genoemd als er voor elke $\delta>0$ een projectie $p\in M$ bestaat zodat:

\begin{displaymath}p\H
\subseteq E\,\,\,en\,\,\,\tau(1-p)\leq\delta.\end{displaymath}

Propositie 1.38   Zij $E$ een $\tau $-dichte deelruimte van $\H$. Dan bestaat er een stijgende keten van projecties $(p_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ in $M$ met

\begin{displaymath}p_{n}\nearrow1\,\, ,\,\,\tau(1-p_{n})\rightarrow0\,\, en\,\,
\bigcup_{n=1}^{\infty}p_{n}\H\subseteq E.\end{displaymath}

BEWIJS:
Uit de definitie van de $\tau $-dichtheid van $E$ volgt het bestaan van een rij projecties $(q_{k})_{k\in\mathbb{N}}$ in $M$ zodat:

\begin{displaymath}q_{k}\H\subseteq E\,\,\, en \,\,\, \tau(1-q_{k})\leq 2^{-k}\end{displaymath}

Definieer dan

\begin{displaymath}\forall n\in\mathbb{N}\quad
p_{n}=\wedge_{k=n+1}^{\infty}q_{k}\end{displaymath}

dan is $p_{n}\subseteq
p_{n+1}$ en geldt nog steeds:

\begin{displaymath}p_{n}\H= \bigcap_{k=n+1}^{\infty} q_{k}\H\subseteq E\end{displaymath}

en

\begin{displaymath}\tau(1-p_{n})=\tau(\vee_{k=n+1}^{\infty}(1-q_{k}))\leq
\sum_...
...+1}^{\infty}\tau(1-q_{k})\leq\sum_{k=n+1}^{\infty}2^{-k}=2^{-n}\end{displaymath}

Noteren we dan met $p$ het supremum van deze keten dan zal:

\begin{displaymath}\forall n \in \mathbb{N}:\,\, \tau(1-p)\leq\tau(1-p_{n})\leq 2^{-n}\end{displaymath}

Bijgevolg zal dus wegens de trouwheid van $\tau $ gelden dat

\begin{displaymath}\tau(1-p)=0 \,\,\,en\,\,dus\,\,\,p=1\end{displaymath}

Bovendien zal dan ook:

\begin{displaymath}\bigcup_{n=1}^{\infty}p_{n}\H\subseteq E.\end{displaymath}

$\blacksquare$

Gevolg 1.39   Aangezien $p_{n}\nearrow 1$ zal dus $\overline{\bigcup_{n=1}^{\infty}p_{n}\H}=\H\subseteq\bar E$ dus moet $\bar E = \H$ of m.a.w. als $E$ een $\tau $-dichte deelruimte van $\H$ is dan zal $E$ ook norm dicht zijn in $\H$.

De volgende propositie is een heel belangrijke eigenschap, ze is een soort uitbreiding van de gekende eigenschap voor begrensde operatoren, zoals die in de volgende stelling vermeld wordt:

Stelling 1.40   Zij $a,b\in\mathcal{B(H)}$, en zij $K$ een dicht deel van $\H$, voor de norm $\Vert\, .
\,\Vert=\sqrt{<\, ,\, >}$ zodat

\begin{displaymath}a\vert _{K}=b\vert _{K}\end{displaymath}

Dan zal $a=b$ op gans $\H$.

BEWIJS:
Het bewijs is terug te vinden in ([4]), en maakt gebruik van het feit, dat een dicht gedefinieerde, begrensde operator, een unieke uitbreiding tot op gans $\H$ bezit. $\blacksquare$ Vooraleer we deze veralgemeende stelling voor de onbegrensde operatoren kunnen aantonen, moeten we eerst nog een technisch lemma bewijzen.

Lemma 1.41   i. $p_{0} \in M_{proj}$ en stel dat

\begin{displaymath}\forall \delta
>0, \exists p\in M_{proj}:p_{0}\wedge p=0\,\,\, en
\,\,\,\tau(1-p)\leq\delta.\end{displaymath}

dan zal $p_{0} =0$
ii. Als $p_{1},p_{2}\in M_{proj}$ en stel dat

\begin{displaymath}\forall \delta>0\, ,
\exists p \in M_{proj}:p_{1}\wedge p=p_{2}\wedge p\,\,\, en\,\,\,
\tau(1-p)\leq\delta.\end{displaymath}

Dan zal $p_{1}=p_{2}$.

BEWIJS:
i.
Zij $\delta>0$ Dan volgt uit het feit dat er een $p \in M_{proj}$ bestaat waarvoor $\tau (1-p) \leq \delta$ en $p_{0}\wedge p =0$ dat $p_{0}\lesssim
1-p$ en dus zal $\tau(p_{0})\leq\tau(1-p)\leq\delta$. Aangezien dat voor een willekeurig gekozen $\delta$ geldt zal dus $\tau(p_{0})=0$ moeten zijn en uit de trouwheid van $\tau $ volgt dan dat $p_{0} =0$ is.
ii.
Stel $p_{0}=p_{1}-(p_{1}\wedge p_{2})$ Nu impliceert $p_{1}\wedge p=p_{2}\wedge p$ dat $p_{1}\wedge p=(p_{1}\wedge
p_{2})\wedge p$ bijgevolg zal dus $p_{0}\wedge p =0$ zijn. Passen we dan (i) toe op $p_{0}$ dan zal $p_{1}=p_{1}\wedge p_{2}$, volledig analoog bekomen we zo dat ook $p_{2}=p_{1}\wedge p_{2}$ en dus zal $p_{1}=p_{2}$. $\blacksquare$

Propositie 1.42   Zij $a,b \in \bar M$, als $E$ een $\tau $-dichte deelruimte is van $\H$ bevat in $D(a) \cap D(b)$ en $a\vert _{E}
=b\vert _{E}$ Dan zal $a=b$.

BEWIJS:
Beschouw daarvoor de Hilbertruimte $\H_{2}=\H\oplus\H$ en de bijhorende von Neumann-algebra $M_{2}
=\left(\begin{array}{cc} M & M \\ M & M
\end{array} \right)$ uitgerust met het normaal, trouw en semi-eindig spoor $\tau_{2}$ gedefinieerd door:

\begin{displaymath}\tau_{2}\left(
\begin{array}{cc} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}
\right) = \tau(x_{11})+\tau(x_{22})\end{displaymath}

We berekenen eerst en vooral $M_{2}'$, Stel

\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d
\end{array} \right)\end{displaymath}

als een willekeurig element uit $M_{2}$, dus $a,b,c,d\in M$, dan laten we deze matrix, commuteren met een matrix van de volgende vorm, waarbij $x,y,z,u\in \mathcal{B(H)}$

\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cc} x & y \\ z & u
\end{array} \right)\end{displaymath}

Dan moeten we dus gelijkheid verkrijgen tussen de volgende matrices:

\begin{eqnarray*}\left(\begin{array}{cc} a & b
\\ c & d
\end{array} \right)\le...
...n{array}{cc} xa+yc & xb+yd \\
za+uc & zb+ud \end{array}\right) \end{eqnarray*}



Dat levert ons dus de volgende gelijkheden op:
$\displaystyle ax+bz$ $\textstyle =$ $\displaystyle xa+yc$ (1.5)
$\displaystyle cx+dz$ $\textstyle =$ $\displaystyle za+uc$ (1.6)
$\displaystyle ay+bu$ $\textstyle =$ $\displaystyle xb+yd$ (1.7)
$\displaystyle cy+du$ $\textstyle =$ $\displaystyle zb+ud$ (1.8)

Omdat deze vergelijkingen altijd moeten geleden, dus voor een willekeurige $a,b,c,d\in M$ kunnen we deze waarden zodanig kiezen dat we weten waaraan $x,y,z,u$ moeten voldoen. Kies namelijk
-
In (1.6) $c=d=0$, $a=1$ dan volgt dat $z=0$.
-
In (1.6) $c=1$, omdat nu al $z=0$ volgt er: $x=u$
-
In (1.8) $d=0, c=1$, omdat $z=0$ krijgen we $y=0$
We houden dus enkel nog twee vergelijkingen over (1.5) en (1.8) reduceren zich namelijk tot:

\begin{eqnarray*}ax & = & xa \\ du & = & ud \end{eqnarray*}



Opdat dus

\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cc} x & y \\ z & u \end{array} \right)
\in M_{2}'\end{displaymath}

Moet dus $z,y=0$ en $x=u\in M'$. Noteer met $p_{a}$ en $p_{b}$ de projecties op de grafieken $G(a)$ en $G(b)$ van $a$ en $b$. Omdat $a$ en $b$ geaffilieerd zijn met $M$ zijn $G(a)$ en $G(b)$ invariant onder alle elementen van $M_{2}'$, met

\begin{displaymath}M_{2}'=\left\{ \left(
\begin{array}{cc} y & 0 \\ 0 & y \end{array} \right) \vert y \in
M' \right\} \end{displaymath}

We tonen dit laatste enkel aan voor $a \,\eta\,
M$ dan zou dus

\begin{displaymath}G(a)=\{(\xi,a\xi )\vert\xi \in D(a)\}\end{displaymath}

invariant moeten zijn onder $M_{2}'$, dit volgt uit hetvolgende:

\begin{displaymath}\left( \begin{array}{cc} y & 0 \\ 0 & y
\end{array}\right) \...
...t( \begin{array}{c} y\xi \\ ay\xi
\end{array} \right) \in G(a)\end{displaymath}

Bijgevolg gaan de projecties $p_{a}$ en $p_{b}$ met elk element uit $M_{2}'$ commuteren en dus tot $M_{2}''=M_{2}$ behoren. Zij nu $\delta>0$ dan bestaat er een projectie $p\in M$ zodanig dat $p\H\subseteq E$ en $\tau(1-p) \leq \delta /2$ stel dan $p_{2}=\left(\begin{array}{cc} p & 0 \\ 0 & p \end{array}\right)$. Dan zal $\tau_{2}(1-p_{2})\leq\delta$. Verder zullen $a$ en $b$ gelijk zijn op $p\H\subseteq E \subseteq D(a) \cap D(b)$ en dus zal

\begin{eqnarray*}G(a) \cap (p\H\oplus p\H) & = & \{(\xi,a\xi)\,\vert\,\xi
\in p...
...\,\xi \in p\H,b\xi \in p\H\} \\ & = & G(b)\cap(p\H\oplus
p\H). \end{eqnarray*}



Bijgevolg is dus $p_{a}\wedge p_{2} = p_{b}\wedge p_{2}$ Uit lemma 1.41 kunnen we dan concluderen dat $p_{a}=p_{b}$ en dus ook $a=b$. $\blacksquare$
next up previous contents
Volgende: -pré-meetbaarheid Omhoog: De theorie van de Vorige: De verzameling van operatoren.   Inhoudsopgave
Raf Vandebril 2004-05-27