Hogere wiskunde Klasagenda 1997-1998
Bc.a-b: verwijst naar paginas a tot b in boek c
St.D.H.p.s: verwijst naar stelling p.s in hoofdstuk H van deel D.
Week
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
9,
10,
11,
12,
13,
14,
15,
16,
17,
18,
19,
Vooruitblik
Week 1
- 1/10/97:
-
Functies, coördinaten:
B1.1-23, B2.206-207, B3.3,18-22
-
definities: functie, domein, beeld, grafiek, kromme, inverse functie, parametervergelijking, poolcoördinaten, bolcoördinaten, cilindercoördinaten, kromme, oppervlak
-
Limiet:
B1.14-27, B3.24-25
-
definities:
limiet van een functie
- 2/10/97:
-
Limiet:
B1.24-49, B3.4,23-25,43-44
-
definities: linker/rechter-limiet, limiet op oneindig, oneindige limiet,
limiet langs een kromme.
-
rekentechnieken: limieten van som, verschil, product
[+ bewijs St. I.II.2.2(c)], quotient, samenstelling [+ bewijs St.I.II.2.7]
van functies; sandwichprincipe [St.I.II.2.10 geen bewijs]
-
eigenschappen: [zonder bewijs] bestaan en enig zijn van de limiet,
ongelijkheden (St.I.II.2.5/6/8/9)
- 3/10/97:
-
Continuiteit: B1.49-57, B3.4-5,26-28,44
-
definities:
continue functies, continue uitbreiding
-
eigenschappen:
lim f(x)= f(lim x), tussenwaardestelling, Bolzano
-
rekentechnieken: [zonder bewijs] continuiteit van som, verschil,...
-
Afgeleide: B1.58-65
-
definities:
(linker-, rechter-)afgeleide in (een punt, een interval)
-
eigenschap:
differentieerbaar impliceert continu [St.I.III.2.1 +bewijs]
Week 2
- 8/10/97
- Afgeleide B1.65-72
- rekentechnieken: [zonder bewijs] afgeleide van som, product, quotiënt, inverse functie, Regel van Leibniz, kettingregel, impliciete differentiatie
- Afgeleide bij krommen B3.5-9
- definitie: raakvector, vectoriële/scalaire snelheid/versnelling, zacht verlopende kromme
- rekentechnieken: afgeleide van som, scalair product, norm
- Afgeleide bij willekeurige functies B3.28
- Aanzet tot differentieerbaarheid, partiële afgeleide, gradiënt
- 9/10/97
- Afgeleide voor functies Rn -> R, B3.28-38
- definitie: differentieerbaarheid, partiële afgeleide, gradiënt, richtingsafgeleide. Het begrip raakvlak (intuïtief)
- eigenschappen: diffbr => cnt [St.III.II.5.1 +bewijs], St.III.II.5.2 [geen bewijs],
- rekentechniek: kettingregel [St.III.II.6.1 +bewijs],
- Afgeleide voor functies Rn -> Rm, B3.45-47
- definitie: differentieerbaar, Jacobiaan
- 10/10/97
- Voorstelling van oppervlakken, B2.192-195
- impliciete beschrijving, expliciete beschrijving, parameter beschrijving
- vlak, kegel, cilinder
- Raakvlakken en normalen, B3.38-42,48-50
- vergelijking van het raakvlak als het oppervlak beschreven is door een impliciete beschrijving, expliciete beschrijving, parameter beschrijving
Week 3
- 15/10/97
- Algemene kettingregel (geen bewijs), B3.50-51
- Lineaire benadering, B1.72-77, B3.51-52
- toepassing: het zoeken van nulpunten: methode ban Newton, secant methode
- toepassing: het oplossen van stelsels: methode ban Newton
- Operatorenrekening, B3.53-55
- definities en rekentechnieken: Hessiaan, richtingsafgeleiden en andere differentiaaloperatoren
- 16/10/97
- Operatorenrekening, B3.56
- rekentechniek: verband tussen Hessiaan en 2de orde richtingsafgeleide
[niet gezien: divergentie en rotor]
- Middelwaardestellingen, B1.78-80, B3.57-58
- De stellingen: (met bewijs) Rolle, Lagrange, Cauchy, ook voor functies van meerdere variabelen
- Extremen van functies, B1.81-86
- Definities: extremum, stijgen/dalen, stationair/kritisch punt, convexiteit,
- Stellingen: (zonder bewijs) verband tussen 1e afgeleide en stijgen/dalen [St.I.III.6.1],
verband tussen 2de afgeleide en convexiteit [St.I.III.6.3,6.4]
- 17/10/97
- Optimisatieproblemen, B1.87-89, B3.62-73
- Eigenschap: Nodige voorwaarde, Eerste en tweede afgeleide test (geen bewijs)
Ook in meerdere variabelen [St.IV.III.2.1 en 2.2, met bewijs]
- Rekentechniek: Opzoeken van een globaal extremum
Opzoeken van een stationair punt (Newton en steilste afdaling)
[niet gezien: kleinste kwadraten, optim. met beperkingen]
- Verloop van functies, B1.90-96
- Definities en rekentechnieken: Horizontale, verticale en schuine asymptoten, nulpunten, maxima, minima,...
- Onbepaalde vormen, B1.96-100
- rekentechnieken: Regel(s) van de l'Hôpital [+bewijs]
- De Landau symbolen, B1.100-101
- definitie: kleine o(g(x)) en grote O(g(x))
Week 4
- 22/10/97
- Integratie, B1.102-115, B3.83-93
- Definitie: Riemann-som, Onder- en bovensom, Onder- en bovenintegraal, Riemann-integraal
- Elementaire eigenschappen (geen bewijs): integraal over deelgebieden, integraal van positieve functie, integreerbaarheid van stuksgewijs continuë functies...
- Rekentechniek (geen bewijs): Een meervoudige integraal door herhaalde integratie
- 23/10/97
- Riemann integralen, B1.115-132
- Definitie: Primitieve functie, onbepaalde integraal
- Eigenschappen Fundamentele stelling van de integraalrekening (St.I.IV.3.3), andere eigenschappen (St.I.IV.4.1-4), middelwaardestellingen (St.I.IV.4.5-6)
- Rekentechniek: Substitutiemethode (St.I.IV.5.1) Partiële integratie (St.I.IV.5.2), numerieke integratie (Middelpunts-, trapezium-, Simpson-regel)
- Oneigenlijke integralen, B1.132-137
- Definitie: convergentie voor onbegrensd interval en onbegrensde integrand
- 24/10/97
- Oneigenlijke integralen, B1.138-142
- Convergentiestellingen: (limiet-) vergelijkingsstellingen (+bewijs) St.I.IV.7.1-4
- Toepassingen van integratie, B1.142-156
- Rekentechnieken: oppervlak, volume, omwentelingsoppervlakken, booglengte
Week 5
- 29/10/97:
- Nieuwe functies: B1.157-180
- Definities: natuurlijke logaritme, exponentiële, hyperbolische, algemene exponentiële en algemene logaritme, inverse goniometrische en hyperbolische functies
- Eigenschappen: exp(x)=ex, xn=o(exp(x)),
- Rekentechnieken: logaritmisch differentiëren, limieten met onbepaalde vormen herleiden via de logaritme
- 30/10/97:
- Integratietechnieken: B1.180-193
- Rekentechnieken: kookboekrecepten voor het integreren van allerlei functies, in het bijzonder rationale functies via partieelbreuksplitsing
- 31/10/97:
- Integratietechnieken: B1.193-201
- Rekentechnieken: partieelbreuksplitsing en kookboekrecepten voor herleiden tot rationale functies
- Nieuwe functies: B1.202-205
- Definities en eigenschappen: Gauss-functie en Gamma-functie
- Rijen van reële getallen: B1.206-213
- Definities: limiet, deelrij, Cauchy-rij,
- Eigenschap: convergent <=> Cauchy-rij
Week 6
- 5/11/97:
- Integralen, afgeleiden, limieten:
- Maple demo: Maple kan veel, maar niet alles
- Rijen: B1.213-216
- Eigenschappen: Convergentie van monotone rijen (St.I.VI.3.1),
Enkele bijzondere rijen en hun convergentie
- 6/11/97:
- Reeksen: B1.216-233
- Definities: wat is een reeks?
- Convergentie:(+bewijzen) cvg => (an ->0); de harmonische = dvg; de meetkundige cvg <=> |r| < 1; cvg <=> cvg van de staart [St.I.VI.5.1-5]
- Convergentie bij an>0:(+bewijzen) vergelijkingstest; limiet-vergelijkingstest; d'Alembert; Cauchy; integraaltest; foutenschatting [St. I.VI.6.1-7]
- Convergentie bij algemene en alternerende an:(+bewijzen) absolute cvg; absolute cvg => gewone cvg; Leibniz voor alternerende reeks [St.I.VI.7.1-3]
- 7/11/97:
- Machtreeksen: B1.233-240
- Definities: Machtreeks, convergentiestraal, machtreeks rond a
- Eigenschap:(geen bewijzen) abs. cvg => integreerbaar en oneindig dikwijls differentieerbaar, en dit mag term per term
- Taylor en Maclaurin reeksen: B1.241-256
- Definities: Taylorveelterm = benadering
- Eigenschap: (+bewijs) de restterm
- Voorbeelden: Reeksen van belangrijke functies
Week 7
- 12/11/97:
- Vectorruimten: B2.1-21
- Definities: abstracte vector, vectorruimte, lineaire combinatie, voortbrengend deel, vrij deel, basis, dimensie, coördinaten
- Eigenschappen: Hoe komt men tot een basis? alle VR met dezelfde dimensie zijn isomorf, dimensiestelling voor deelruimten (+bewijs)
- 13/11/97:
- Projectie: B2.19-24
- Definitie: abstracte projectie
- Lineaire afbeelding, vergelijking, en transformatie: B2.24-35
- Definitie: beeld, kern, rang, corang
- Eigenschap: dimensiestelling voor lineaire afbeeldingen, algemene oplossing van een lineaire vergelijking, inverteerbaarheid van lineaire transformaties
- 13/11/97:
- Differentiaalvergelijkingen: (Computer demo met maple, illustratie bij het oplossen van een algemene lineaire vergelijking in vectorruimten)
- Voorbeelden uit de fysica
- Schatten van oplossingen door redeneren en met behulp van Maple; Waar komen de onbepaalde constanten in de algemene oplossing vandaan en hoe kan men ze bepalen?
Week 8
- 19/11/97:
- Matrixrekening: B2.36-55
- Definities: matrix, som, product, transpose, inverse, ...
- Matrixvoorstelling van een L.A.:Verband lineaire afbeelding matrixvermenigvuldiging
- Voorbeelden van matrixvoorstellingen
- Definities: {rij/kolom}{ruimte/rang}
- Rekentechniek: Basisalgoritme, rijechelonvorm, elementaire matrices, equivalente matrices
- 20/11/97:
- Matrixrekening: B2.55-61
- Eigenschap: rijrang=kolomrang=rang, canonieke vorm, basistransformaties
- Oplossen van stelsels: B2.62-71
- Eigenschap: Oplossing van een algemeen stelsel, Stelling van Rouché
- Rekentechniek: Gausseliminatie, LR ontbinding
- 21/11/97:
- Determinanten: B2.72-80
- Definitie: determinant, cofactor,
- Rekentechniek: Berekenen via Gauss, ontwikkeling volgens Laplace, Regel van Cramer
- Eigenwaarden: B2.81,83,84
- Definitie: eigenwaarde, eigenruimte
- Voorbeelden: spiegeling, afgeleide, projectie, rotatie
Week 9
- 26/11/97:
- Eigenwaarden: B2.81-93
- Definitie: eigenwaarde, eigenvector, meervoudigheid, eigenruimte
- Eigenschappen: som eigwa=spoor, prod. eigwa=det, p(A)X=p(l)X
- Eigenwaarde-ontbinding: eenvoudige structuur=diagonaliseerbaar
- Jordan-vorm: beschrijving (geen bewijs) + eenvoudig algoritme
- 27/11/97:
- Euclidische vectorruimte: B2.94-107
- Definitie: norm, inwendig product, loodrecht, hoek, metriek
- Eigenschappen: Cauchy-Schwarz, Pythagoras
- 28/11/97:
- Orthogonale projectie: B2.107-110
- Definitie: projectie op een rechte, een deelruimte
- Eigenschappen: minimale afstand
- Gram-Schmidt: B2.110-116
- Rekentechniek: het algoritme en QR interpretatie
Week 10
- 3/12/97:
- Orthogonale lineaire transformaties: B2.116-119
- Eigenschappen: behoudt inwendig product, behoudt norm
- Matrixvoorstelling: t.o.v. orthonormale basis is orthogonale matrix
- Kwadratische vormen: B2.120-122
- Definitie: bilineaire vorm, hermitisch/symmetrisch, congruentie, kwadratische vorm
- Matrixvoorstelling: t.o.v. willekeurige basis, na basistransformatie
- 4/12/97:
- Symmetrische matrices: B2.123-125
- Eigenschappen: reële eigenwaarden, orthogonale eigenvectoren, diagonaliseerbaar
- Ontbinden van kwadratische vormen: B2.125-131
- Eigenschappen: Traagheidswet van Sylvester
- Rekentechniek: Methode van Lagrange
- Definities: Signatuur, positief/negatief (semi)definiet, indefiniet
- 5/12/97:
- Kleinste kwadraten: B2.132-139
- Definitie: projectiematrix, normaalstelsel
- Rekentechnieken: normaalstelsel, Gram-Schmidt
- Singuliere waarde-ontbinding: B2.139-141
- Definitie: de SWO
- Eigenschap: existentie van de SWO
Week 11
- 10/12/97:
- Singuliere waarde-ontbinding: B2.141-150
- Eigenschappen: KKB met minimale lengte, orthonormale basis voor de 4 fundamentele ruimten, rang-k benadering
- Rechten en vlakken: B2.152-159
- Definitie: parametervergelijking van rechten en vlakken, affien onafhankelijk, cartesische vergelijking
- 11/12/97:
- Rechten en vlakken: B2.159-176
- Rekentechniek: Omzetten van parametervgl naar Cartesische vgl en omgekeerd, constructie allerlei rechten en vlakken, onderlinge ligging, evenwijdigheid, snijpunten, snijlijnen, projectie
- Definitie: vectoriële product
- 12/12/97:
- Rechten en vlakken: B2.176-189
- Rekentechnieken: hoeken en afstanden tussen rechten en vlakken
- Eigenschap: meetkundige betekenis van het vectorproduct, inhoud van parallellepipedum, volume na transformatie
- Definitie: oriëntatie van een assenkruis, isometrie
- Rekentechnieken: coördinatentransformatie voor assentransformatie en bij isometrie
- Eigenschap: isometrie = translatie na orthogonale lineaire transformatie
Week 12
- 17/12/97:
- Homogene coördinaten: B2.190-191
- Rekentechniek: Translatie als matrixvermenigvuldiging
- Kwadrieken: B2.195-206
- Rekentechniek: Berekenen middelpunt, Klassificatie
- Eigenschap: "Een middelpunt ligt in het midden"
- Definitie: Regeloppervlak + vbn.
- 18/12/97:
- Herhaling: B3.1-57
- Nieuw:
- Definities:Booglengte, kromming, kromtestraal, divergentie, rotor
- Rekentechniek: Integraal over een kromme
- 19/12/97:
- Herhaling: B3.57-83
- Nieuw:
- Rekentechniek: Taylorreeks
- Rekentechniek: Niet lineaire kleinste kwadraten, Optimisatie met beperkingen
Week 13
- 7/1/98:
- Integralen: Herhaling: B3.84-93
- Integralen: Nieuw: B3.93-104
- Toepassingen: Oppervlakte, volume, opp. gebogen oppervlak
- Rekentechnieken: Transformatie van de coördinaten
- 8/1/98:
- Lijnintegralen: B3.104-114
- Definities: lijnintegraal, conservatief veld, potentiaalfunctie
- Eigenschap: "conservatief <=> potentiaalfunctie bestaat"
- 9/1/98:
- Integralen: B3.114-121
- Eigenschap: Stelling van Green
- Definities: integraal over een oppervlak, oppervlakintegraal
- Eigenschap: Stelling van Stokes (geen bewijs)
- Overzicht: Samenvatting van alle soorten integralen
Week 14
- 13/1/98:
- Complexe functies: B3.122-132
- Rekentechniek: rekenen met complexe getallen
- Definities: complexe functies, limiet, continu, afgeleide, integraal
- Eigenschap: Cauchy-Riemann voorwaarden, fundamentele stelling voor complexe integralen
Week 15
- 27/1/98:
- Differentiaalvergelijkingen: B3.134-142
- Definities: orde, homogeen, lineair, beginvoorwaarden
- Eigenschap: existentie en eenduidigheid (geen bewijs), algemene oplossing
- Voorbeeld: eerste orde lineaire vgl.
- Definities: Wronskiaan
- Eigenschap: onafhankelijkheid van functies
Week 16
- 3/2/98:
- Differentiaalvergelijkingen: B3.142-149
- Definities: fundamenteel stel
- Eigenschap: oplossen van een homogene lineaire dvgl met constante coëfs
- Demo: Het gebruik van Maple bij het oplossen van dvgl
Week 17
- 10/2/98:
- Differentiaalvergelijkingen: B3.149-155
- Rekentechniek: particuliere oplossing niet homogene vgl.
- Laplace transformatie: B3.155-160
- Definities: Laplace trf, exponentiële orde, stuksgewijs continu, convergentieabscis
- Eigenschappen: Lineair, eenduidig, asymptotisch
Week 18
- 17/2/98:
- Differentiaalvergelijkingen en Laplace Transformatie: B3.160-166
- Eigenschappen van de Laplace transformatie
- Toepassing: het oplossen van differentiaalvergelijkingen
Week 19
- 24/2/98:
- Stelsels differentiaalvergelijkingen: B3.167-178
- Eigenschappen: Existentie en eenduidigheid, fundamenteel stel
- Rekentechnieken: Het oplossen van lineaire stelsels van eerste orde met constante matrix
- Definitie: De matrix exponentiële
Wat volgt ??