Veeltermbenadering en interpolatie

Veeltermbenadering

Door een groot aantal punten waarop meetfouten zitten zal men dikwijls een kleinste-kwadratenbenaderingsveelterm van een lage graad trekken.

Wat leren we hieruit?

Soms is het beter om geen veelterminterpolatie te doen, nl. als men een vereffening van meetgegevens wil bekomen. Kleinste-kwadraten veeltermbenadering is dan een mogelijke oplossing.
In het laatste geval is het zeker niet aangewezen om het normaalstelsel te gebruiken vanwege de slechte conditie.
De Vandermonde matrix kan op zichzelf ook al zeer slecht geconditioneerd zijn.

Veelterminterpolatie volgens Lagrange

Als men het aantal punten gelijk neemt aan de graad van de veelterm plus 1, dan is er juist één oplossing. In dat geval kan men een basis van Lagrange-veeltermen kiezen of een Newton-basis.

Wat leren we hieruit?

De interpolatiefout bij equidistante punten is "groter" aan de randen van het interval.
De interpolatiefout stijgt zeer sterk eens men buiten het interval gaat.
Voor hoge graad is de basis van de Lagrangeveeltermen instabiel.

Veelterminterpolatie volgens Newton

Voor het geval van de Newton-basis kan men een matlab-programma gebruiken om de interpolerende veelterm voor verschillende graden te berekenen.

Wat leren we hieruit?

De interpolatiefout hoeft niet noodzakelijk naar nul te gaan bij toenemende graad, zelfs niet voor functies die er op het eerste gezicht toch zacht-verlopend uitzien.
Het interpolatie-interval speelt een rol in het al dan niet convergeren.
Zelfs voor het geval de interpolatiefout in theorie naar nul zou moeten gaan, blijkt dat in de praktijk niet het geval te zijn.