Numerieke integratie

Enkelvoudige regels

De enkelvoudige regels ontstaan door een interpolerende veelterm te integreren.
De eenvoudigste zijn de Newton-Cotes formules die met equidistante punten werken.
De voornaamste kenmerken zijn
- Voor een toenemend aantal punten groeien de gewichten in absolute waarde (numerieke onstabiliteit)
- De integratiefout is evenredig met
  - f⁽ⁿ⁺¹⁾ of f⁽ⁿ⁺²⁾. Het is best mogelijk dat daarom de fout niet naar nul gaat.
  - [(b-a)/n]ⁿ⁺² of [(b-a)/n]ⁿ⁺³ vermenigvuldigd met 1/[n (log n)²].
    De tweede factor gaat traag naar nul. De eerste factor gaat snel naar nul als n toeneemt, tenzij (b-a) groot is.
- De regels zijn niet erg geschikt voor automatische integratie.

Deze ontstaan door het interval op te delen in deelintervallen en in elk deelinterval een eenvoudige Newton-Cotes formule te gebruiken.
De eenvoudigste zijn de middelpuntsregel, trapeziumregel en Simpsonregel.
De voornaamste kenmerken zijn
- De gewichten zijn klein en van hetzelfde teken (betere stabiliteit)
- de integratiefout is evenredig met
  - f'' of f⁽⁴⁾, zodat dit niet afhangt van n en dus zal dit de convergentie niet beletten.
  - 1/n² of 1/n⁴ waardoor het gegarandeerd zal convergeren (op afrondingsfouten na). Dit is traag, maar snel genoeg.
- Deze regels lenen zich wel goed tot het schrijven van automatische integratoren.

Een maple worksheet geeft een manier om de Newton-Cotes formules op te stellen met hun bijhorende fout. Een minder efficiente maar eenvoudiger te begrijpen manier kan je ook uit het maple werkblad halen dat wat verder wordt gebruikt.
Je kan met matlab de trapeziumregel en de Simpsonregel vergelijken. Er wordt ook een visualisatie gegeven van de benaderingen.
Het programma voor automatische integratie met trapeziumregel en Simpsonregel kan je ophalen.
De Newton-Cotes formules hebben een inherente onstabiliteit. Dit wordt geïllustreerd door een maple werkblad.
De convergentiesnelheid wordt ook vergeleken met de trapeziumregel en de regel van Simpson.
Een java applet is beschikbaar. Je kan er de functie opgeven, het aantal deelintervallen (tussen 1 en 10) en het aantal interpolatiepunten (tussen 2 en 10) per deelinterval.
Men kan op het web verschillende applets vinden waarin de verschillende basisregels aan het werk zijn. Enkele voorbeelden:

Welk stopcriterium wordt er in de automatische integratoren gebruikt?
Is er een verschil in rekentijd voor de verschillende integratoren als men steeds eenzelfde aantal functie-evaluaties doet?
Hoe zou een automatische integrator voor de middelpuntsregel moeten geschreven worden?
In het maple werkblad worden alle integralen berekend voor n=2:2:N. Waarom doet men dat met stappen van 2?
De rekentijd voor het maple werkblad kan groot zijn als men N groot kiest. Zou men dezelfde berekeningen efficiënter kunnen doen?
Bereken de 2-norm van de gewichten-vector die hoort bij de n-de Newton-Cotes formule. Hoe verloopt die norm in functie van n? Wat kun je hieruit besluiten voor de numerieke stabiliteit van deze methode?
Probeer eens andere functies en andere intervallen te kiezen in het maple werkblad. Hoe goed of slecht is de convergentie van de verschillende methoden?
Zal de trapeziumregel en de Simpsonregel ook last krijgen van afrondingsfouten als het aantal punten (n) zeer groot wordt? Zal het zo zijn dat voor n te groot deze regels een divergerend gedrag gaan vertonen zoals de Newton-Cotes regels dat reeds voor lage n doen?
probeer eens een sterk oscillerende integrand te kiezen of een integrand die een singulariteit heeft in een randpunt. Hoe gedragen de verschillende regels zich in dit geval? Kun je dit verklaren?