Iteratief oplossen van stelsels

We hebben het hier over het zoeken van nulpunten van functies f(x) = 0 met x en f(x) vectoren.

Als bijzonder geval kan men f(x) lineair nemen: f(x) = Ax - B, zodat men een stelsel lineaire vergelijkingen krijgt.

Niet-lineaire stelsels

We illustreren voor een 2x2 niet-lineair stelsel hoe men met de methoden van Newton-Raphson en de vereenvoudigde methoden van Newton (enkelvoudige en totale stap methode) dat stelsel kan oplossen.

Wat leren we hieruit?

De volgorde van de vergelijkingen is belangrijk in de vereenvoudigde methoden. De methode kan naar een andere oplossing convergeren, dus eigenlijk divergeren, weg van het punt waar men een startwaarde heeft gekozen.
De convergentie van Newton is niet gegarandeerd. De startwaarde moet "dicht genoeg" bij de gewenste oplossing liggen.
Als de vereenvoudigde methoden convergeren, dan is dit beduidend trager dan voor de Newton-Raphson methode. Newton heeft orde 2, de andere zijn lineair.
De methode van Newton-Raphson vereist de berekening van de Jacobiaan (dat zijn n x n partiële afgeleiden), de vereenvoudigde methoden hebben slechts de diagonaal ervan nodig (n partiële afgeleiden).
Newton-Raphson vergt de oplossing van een stelsel per iteratiestap. De vereenvoudigde methoden hebben slechts n delingen nodig.
De enkelvoudige stap methode is meestal sneller dan de totale stap methode en is ook efficiënter qua geheugenbezetting.

Complexe vergelijkingen, een bijzonder geval

We zoeken een complexe wortel van een complexe vergelijking met de methode van Newton-Raphson.

Wat leren we hieruit?

We kunnen complexe vergelijkingen oplossen door enkel met reële getallen te rekenen.
Als we met voldoende goede startwaarden vertrekken vinden we vlug een oplossing.
Elke wortel heeft zijn eigen aantrekkingsgebied voor de iteratie van Newton-Raphson.
De enkelvoudige stap methode levert niet altijd een oplossing.

Lineaire stelsels

We illustreren voor een 2x2 lineair stelsel hoe men met de Jacobi en Gauss-Seidel methode dat stelsel kan oplossen.

Wat leren we hieruit?

De volgorde van de vergelijkingen is belangrijk in de vereenvoudigde methoden. De methode kan divergeren, weg van de oplossing, zelfs als men een zeer goede startwaarde heeft gekozen.
De convergentie is lineair als er convergentie is.
De Gauss-Seidel methode is meestal sneller dan de Jacobi.