Differentiaalvergelijkingen

Het betreft hier het oplossen van beginwaardeproblemen van de vorm y'(x) = f(x,y(x)).

Orde van een methode

We illustreren wat de orde is van een methode en wat dit betekent aan de hand van drie elementaire technieken: Euler, Cauchy en Heun.

Wat leren we hieruit?

Het begrip orde van een methode heeft invloed op de grootte van de lokale en dus ook van de globale discretisatiefout als functie van de stap h bekeken.
Let wel, de technieken zijn geen iteratieve methoden, en dus is het hier eigenlijk een ander begrip dan het begrip "orde van convergentie" zoals dat voor een iteratieve methode wordt gedefinieerd.

Voorbeelden van de werking van Euler, Heun en Cauchy

Dit is een code die op een op te geven rechterlid f(t,y) de methode van Euler, Heun en Cauchy loslaat. Men kan daarin een aantal parameters wijzigen.

Wat leren we hieruit?

Euler in minder nauwkeurig dan Heun of Cauchy die ongeveer even goed zijn.
De stap moet klein genoeg zijn om een oplossing te berekenen die in de buurt van de exacte oplossing blijft.

Enkele methoden opgesteld door maple

Het opstellen van sommige methoden vraagt wat rekenwerk, wat gemakkelijk met maple kan opgelost worden. Dit wordt hier gedaan voor BDF, Adams-Bashforth, en Adams-Moulton.

Wat leren we hieruit?

Operatorenrekening kan zeer nuttig zijn om formules (bv. BDF) eenvoudig op te stellen.
Predictor-corrector methoden laten een eenvoudige foutenschatting toe. Ze kunnen daarom nog niet gemakkelijk adaptief werken.

Stabiliteitsgebieden

Voor sommige directe methoden is het eenvoudig om de stabiliteitsgebieden te tekenen.

Wat leren we hieruit?

Met toenemende orde zal het stabiliteitsinterval voor expliciete methoden die van de gepaste vorm zijn ook toenemen.
De BDF formules zijn bijzonder goed wat hun stabiliteitsgebied betreft.

De slinger

Voor het gebruik van Runge-Kutta formules voor het oplossen van een tweede orde differentiaalvergelijking kan men naar het probleem van de slinger kijken, dat uitgebreid gedocumenteerd is.

Inherent onstabiele differentiaalvergelijkingen

Men kan expliciet zien hoe een methode faalt voor een moeilijk probleem.

Wat leren we hieruit?

Sommige problemen bevatten dominante en niet dominante oplossingen.
Wil men de niet dominante oplossing selecteren, dan zal de minste afrondings- of andere fout er voor zorgen dat de dominante uiteindelijk toch zal overheersen.