B-KUL-H1D8
Inleiding tot de numerieke wiskunde

Voorbeeld van convectie-diffusievergelijkingen

De tijdsafhankelijke partiële differentiaalvergelijking beschrijft hoe de oplossing u(x,t) verloopt vanuit een begintoestand nadat bepaalde randvoorwaarden zijn aangebracht.

De warmtevergelijking oplossen met matlab geeft aan dat men een oplossing kan berekenen door slechts de waarde van u(x,t) in een aantal discrete punten te berekenen. Dit kan tot voldoende nauwkeurige oplossingen leiden.

Voor de transportvergelijking is de oplossing expliciet gekend en kan men door eenvoudige benaderingen voor de afgeleiden oplossingen berekenen en vergelijken met de exacte oplossing. Dit blijkt niet altijd zo goed te werken als we wel zouden hopen. Hoe komt dat?

De Matlab programma's voor de transportvergelijking kan je hier ophalen.

Wat leren we hieruit?

• Partiële differentiaalvergelijkingen waar heel wat analyse voor nodig is om er een analytische oplossing voor te vinden kunnen we door eenvoudige benaderingen (in principe) toch numeriek oplossen.
• De oplossingsmethode gebruikt benaderingen en dus zal ook de oplossing maar benaderend juist zijn.
• We hebben vermoedelijk een nauwkeuriger oplossing als we discretisatiestapjes h_x en h_t klein nemen (is dit wel zo?). Kleine stapjes betekent echter dat we veel rekenwerk hebben en zeer grote stelsels moeten oplossen. Dit vergt veel rekentijd en veel geheugenruimte tenzij we speciale technieken toepassen.

Numerieke wiskunde zal moeten zorgen dat

• Er een numerieke oplossing gevonden wordt, zelfs als de analytische oplossing niet kan neergeschreven worden.
• Er een juiste oplossing gevonden wordt, d.w.z. dat er geen onaanvaardbare fouten op zitten. Vandaar het belang om fouten te bestuderen (ontstaan, voortplanting, opblazen,...).
• Er een efficiënte oplossing gevonden wordt: zowel in rekentijd als geheugenbezetting.